La misma cantidad, distinta notación
Binario, octal, decimal y hexadecimal son todos sistemas posicionales: el valor de cada dígito depende de la posición que ocupa, multiplicada por una potencia de la base del sistema. En decimal, el número 243 vale 2×10² + 4×10¹ + 3×10⁰. Lo único que cambia entre bases es cuántos símbolos distintos hay disponibles por posición — base 2 tiene solo 0 y 1, base 8 va de 0 a 7, base 10 de 0 a 9, y base 16 suma las letras a-f para meter los valores 10 a 15 en un único dígito. Ninguna base es "más correcta" que otra: todas describen la misma cantidad, y elegir una u otra es pura conveniencia según el contexto.
Dónde aparece cada una y por qué
Un transistor está prendido o apagado, sin término medio, así que el binario es literalmente el idioma del hardware: todo lo demás — un entero en memoria, un paquete de red — es binario por debajo. El problema es que escribirlo o leerlo a mano cansa rápido: un solo byte ya son 8 caracteres.
El hexadecimal existe justamente para resolver eso: cada dígito representa exactamente 4 bits (un nibble), así que un byte completo entra en 2 caracteres (0x00 a 0xff). Por eso aparece en direcciones de memoria, colores web (#2dd4a7), direcciones MAC, hashes y volcados de memoria — es la forma más compacta de mostrar binario sin perder la correspondencia bit a bit.
El octal cumple un rol parecido pero agrupando de a 3 bits en vez de 4. Se usa mucho menos hoy, aunque sigue vivo en los permisos de archivos de Unix/Linux (chmod 755), donde cada dígito octal codifica lectura/escritura/ejecución para un grupo (dueño, grupo, otros) en exactamente 3 bits.
El decimal, mientras tanto, es la base que usan las personas para casi todo lo demás — probablemente porque hay diez dedos en las manos —, sin ninguna ventaja técnica particular para la computación.
Cómo pasar de una base a otra
De cualquier base a decimal, la cuenta es sumar cada dígito multiplicado por la base elevada a la posición que ocupa, contando desde 0 a la derecha. El binario 1011:
1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
De decimal a otra base el camino es al revés: dividir repetidamente por la base y anotar los restos, leyéndolos de abajo hacia arriba. Pasar 11 a binario da 11÷2=5 resto 1, 5÷2=2 resto 1, 2÷2=1 resto 0, 1÷2=0 resto 1 — y leyendo los restos de abajo hacia arriba queda 1011.
Ir directo entre binario, octal y hexadecimal (sin pasar por decimal) es más rápido: como 8 es 2³ y 16 es 2⁴, alcanza con agrupar los bits de a 3 o de a 4 según el destino y convertir cada grupo por separado. Por eso el binario se muestra acá ya agrupado en nibbles de 4 bits: deja ver a simple vista la correspondencia directa con cada dígito hexadecimal.
Cómo usar esta calculadora
Escribe un valor en cualquiera de los cuatro campos — binario, octal, decimal o hexadecimal — y los otros tres se actualizan al instante. Cada campo valida que los símbolos ingresados sean válidos para esa base (un 8 no existe en octal, una g no existe en hexadecimal) e indica exactamente qué carácter falló y en qué posición. El resultado también queda en la URL, para compartir o guardar una conversión puntual.